| 1. | The orthogonal complement of its kernel is called the initial subspace and its range is called the final subspace.
Ce complément orthogonal du noyau est appelé le sous-ensemble initial et son image est appelée sous-ensemble final. |
| 2. | By the definition in this article, the non-zero frequency modes are internal modes, since they are within the orthogonal complement of Rext.
Par définition, les modes de fréquence nulle sont des modes internes, appartenant au complémentaire orthogonal de Rext. |
| 3. | We conclude that the displacement vector D → {\displaystyle {\vec {D}}} belongs to the orthogonal complement of Rext, so that it is an internal vector.
On en déduit que le vecteur de déplacement D → |
| 4. | In functional analysis a partial isometry is a linear map between Hilbert spaces such that it is an isometry on the orthogonal complement of its kernel.
En analyse fonctionnelle, une isométrie partielle est une application linéaire entre deux espaces de Hilbert dont la restriction au complément orthogonal de son noyau est une isométrie. |
| 5. | If U is an isometric map defined on a closed subset H1 of a Hilbert space H then we can define an extension W of U to all of H by the condition that W be zero on the orthogonal complement of H1.
Si U est une isométrie définie sur sous-espace fermé H1 d'un espace de Hilbert H, alors il existe une unique extension W de U sur tout H qui soit une isométrie partielle. |
| 6. | In this case one defines the orthogonal complement of W to be a subspace of the dual of V defined similarly as the annihilator W ⊥ = { x ∈ V ∗ : ∀ y ∈ W , x ( y ) = 0 } . {\displaystyle W^{\bot }=\left\{\,x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\,\right\}.\,} It is always a closed subspace of V∗.
On peut alors définir le complément orthogonal de W comme étant le sous-espace du dual topologique V' de V défini par W ⊥ = { x ∈ V ′ ∣ ∀ y ∈ W x ( y ) = 0 } . |
| 7. | After identifying ℝ7 with the imaginary octonions (the orthogonal complement of the real line in O), the cross product is given in terms of octonion multiplication by x × y = I m ( x y ) = 1 2 ( x y − y x ) . {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\mathrm {Im} (\mathbf {xy} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).} Conversely, suppose V is a 7-dimensional Euclidean space with a given cross product.
Identifiant R7 aux octonions imaginaires (le complément orthogonal de la droite des réels dans O), le produit vectoriel est donné (en utilisant la multiplication des octonions) par x × y = I m ( x y ) = 1 2 ( x y − y x ) . |
| 8. | The first-order equation may thus be expressed as ( E n ( 0 ) − H 0 ) | n ( 1 ) ⟩ = ∑ k ≠ n | k ( 0 ) ⟩ ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ {\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle } For the moment, suppose that the zeroth-order energy level is not degenerate, i.e. there is no eigenstate of H0 in the orthogonal complement of | n ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } with the energy E n ( 0 ) {\displaystyle E_{n}^{(0)}} .
Les termes proportionnels à | k ( 0 ) ⟩ |
